¿Qué es un tensor?

Antes de definir un tensor son necesarias algunas definiciones.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, con $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{F}=\mathbb{C}$.

Definamos $V^{\ast }=\{f:V\to \mathbb{R}|f\text{ es lineal }\}$ como el espacio dual de $V$ .

Sean $V_1,V_2,\dots ,V_n,W$ espacios vectoriales sobre $\mathbb{F}$, una función $f:V_1\times V_2\times \cdots \times V_n\to W$ es llamada $n$-multilineal si $$f(v_1,v_2,\dots ,\alpha v_i+\beta u_i,\dots ,v_n)=$$ $$\alpha f(v_1,v_2,\dots ,v_i,\dots ,v_n)+\beta f(v_1,v_2,\dots ,u_i,\dots ,v_n)$$ con $v,u\in V_i$ y $\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$, así para cada $i=1,\dots ,n$.

Supongamos que $F\in V^{\ast }$ y $H\in W^{\ast }$, entonces podemos obtener una función bilineal $F\otimes H:V\times W\to \mathbb{R}$ dada por la formula $$F\otimes H(v,w)=(F(v))(H(w))$$ Esta función bilineal es llamada el producto tensorial de $F$ y $H$.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$. Las funciones con valores escalares y que son multilineales con variables en $V$ o $V^{\ast }$ son llamadas tensores sobre $V$. Es decir que un tensor es una función $$f:\underset{s}{V^{\ast }\times \cdots \times V^{\ast }}\times \underset{r}{V\times \cdots \times V}\to \mathbb{R}$$ con $f$ multilineal.

El número de variables de $V^{\ast }$ y $V$ son llamados grados o tipo del tensor. El número de variables de $V^{\ast }$ se llama el grado contravariante y el número de variables de $V$ es el grado covariante.

Tensores de grado $(r,s)$

En general los tensores de tipo $(r,s)$ forman un espacio vectorial denotado por $$T_s^r=V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{\ast }\otimes \cdots \otimes V^{\ast }$$ con $V:r$ veces y $V^{\ast }:s$ veces y consiste en las funciones multilineales en $$V^{\ast }\times \cdots \times V^{\ast }\times V\times \cdots \times V$$ $V:s$ veces y $V^{\ast }:r$ veces.

Una función multineal en $V^{\ast }\times V\times V$ es un tensor de tipo $(1,2)$. En algunas situaciones puede ser importante el orden del producto $V\times V^{\ast }\times V$, cuando es el caso se dice que el tensor tiene alguna propiedad de simetría, lo cual se puede estudiar con teoría de grupos. La conveción es ordenarlos tal que primero estén los espacios duales.

Un tensor de tipo $(0,0)$ es definido como un escalar, así $T_0^0=\mathbb{R}$.

Un tensor de tipo $(1,0)$ es llamado un vector contravariante y uno de tipo $(0,1)$ es un vector covariante.

Un tensor de tipo $(r,0)$ es llamado un tensor contravariante y uno de tipo $(0,s)$ es llamado tensor covariante.

Consideremos $V={\mathbb{R}}^n$ sobre $\mathbb{R}$ y el producto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ dado por $$⟨X,Y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$, entonces $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ es un tensor de tipo $(0,2)$.

Definición. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales y supongamos que $\phi :E\times F\to G$ una función bilineal de $E\times F$ a un espacio vectorial $G$. Al par $(G,\phi )$ es llamado un producto tensorial de $E$ y $F$ si se satisface que:

Si $\varphi :E\times F\to H$ es una función bilineal en un espacio vectorial arbitrario, entonces existe una única función $f:G\to H$ tal que $\varphi =f\circ \phi$.

Si el par $(G,\phi )$ es el producto tensorial de $E$ y $F$ denotamos a $G$ por $E\otimes F$ y a $\phi (x,y)$ por $x\otimes y$. Entonces la bilinealidad es expresada en la siguiente forma $$\begin{array}{rclrc}(\lambda x_1+\mu x_2)\otimes y& =& \lambda x_1\otimes y+\mu x_2\otimes y& & x_1,x_2\in E,y\in F\\ x\otimes (\lambda y_1+\mu y_2)& =& \lambda x\otimes y_1+\mu x\otimes y_2& & x\in E,y1,y_2\in F.\end{array}$$

Ejemplo: Consideremos la función bilineal $\beta :{\mathbb{F}}^n\times {\mathbb{F}}^m\to M^{n\times m}$ definida por $$\begin{array}{r}(x_1,\dots ,x_n)\times (y_1,\dots ,y_m)\to \left(\begin{array}{ccc}{x}_1{y}_1& \dots & x_1{y}_m\\ ⋮& & ⋮\\ x_n{y}_1& \dots & x_n{y}_m\end{array}\right).\end{array}$$ Entonces el par $(M^{n\times m},\beta )$ es el producto tensorial de ${\mathbb{F}}^n$ y ${\mathbb{F}}^m$.

Ejemplo:Sea $\beta :M_{n\times n}(\mathbb{C})\times M_{m\times m}(\mathbb{C})\to M_{n\cdot m\times n\cdot m}(\mathbb{C})$ una función bilineal definida por $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right)\to \\ \to \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right)& \cdots & a_{1n}\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right)& \cdots & a_{nn}\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}$$ Entonces el par $(M_{n\cdot m\times n\cdot m}(\mathbb{C}),\beta )$ es el producto tensorial de $M_{n\times n}(\mathbb{C})$ y $M_{m\times m}(\mathbb{C})$.